Pourquoi la factorielle de 0 vaut-elle 1 ?

Numberphile

NumberphileAh, les mathématiques, si difficiles à appréhender lorsque l'on est petit... Certaines "vérités" doivent être acceptées telles quelles. "On ne peut pas diviser par zéro", "multiplier quelque chose par zéro donne toujours zéro", par exemple. Pourtant la factorielle de zéro, elle, vaut 1. Mais pourquoi ?

La factorielle de n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Ainsi, la factorielle de 1, notée 1! vaut 1, celle de 2 vaut 2×1=2, 3! = 3x2x1=6. Pourtant 0! = 1. Numberphile nous explique, en vidéo, ce mystère.

La première explication serait pour « compléter le modèle« . En effet, 3! = 4!/4, 2! = 3!/3, 1! = 2!/2, 0! = 1!/1 = 1 !!!!! La seconde explication est relative à la logique combinatoire, aux probabilité. La factorielle est utilisée pour calculer le nombre d’arrangements possibles dans un ensemble. Prenons les lettres a, b, c. Combien de mots peut-on créer avec ces seules trois lettres ? 6 (abc, acb, bac, bca, cab, cba). Avec a et b ? 2. (ab et ba). Avec a ? 1. Avec aucune lettre ? Une seule possibilité, le mot vide.

Vient enfin la troisième explication, bien plus mathématique, elle. Si l’on représente les résultats des factorielles n sur un graphe, on trace la fonction appelée fonction Gamma. Cette fonction Gamma permet alors d’écrire Gamma(n+1) = n! pour tout n, y compris 0 !!!

Tags :Sources :gizmodoVia :Numberphile
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  1. Sauf que la « démonstration » mathématique de la fin est fausse, la fonction gamma d’Euler ayant été massacrée. L’intégration se fait sur t et non n, et c’est e(-t) et non e(-n).

    1. Il a le droit d’appeler n par t et d’appeler t par n, c’est pas parce que t’as étudié la fonction gamma avec n et t dans un certain ordre qu’il est obligé de suivre tes propres conventions

  2. On m’a toujours dit que c’était par convention, et puis si 0! = 0, on ne pourrait calculer le coefficient binomial (0 parmi n) ! Comme (0 parmi n)=n!/[0!(n-0)!]

  3. « Prenons les lettres a, b, c. Combien de mots peut-on créer avec ces seules trois lettres ? 6 (abc, acb, bac, bca, cab, cba). Avec a et b ? 2. (ab et ba). Avec a ? 1. Avec aucune lettre ? Une seule possibilité, le mot vide. »

    le problème que j’ai avec ce raisonnement c’est quand je prend le problème a l’envers ……avec a combien d’arrangement possible 1 avec ab?4 pourquoi parce a et b « s’arrange » avec ce rien que on compte a chaque fois c’est mal dit mais en faite la on le compte pas après mais au début cela me gène un éclaircissement s’il vous plaît?

  4. 0!=1 uniquement parce qu’on la voulu … Les réponses au pourquoi sont enfait la raison pour laquelle on a voulu que 0! Soit = à 1. C’est juste une convention.

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