Mathématiques : une découverte étonnante concernant les nombres premiers

nombres premiers

Les mathématiques ont ceci de captivant qu'ils ne cessent d'étonner les spécialistes. Même dans des domaines que l'on croyait "maîtrisés" depuis longtemps déjà, on découvre des choses tout à fait étonnantes. Des mathématiciens ont ainsi fait une découverte très étonnante concernant l'expression des nombres premiers.

On rappelle tout d’abord ce qu’est un nombre premier. Il s’agit d’un nombre qui n’est divisible que par un et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Ils ont ceci de remarquable qu’il n’existe aucune formule (magique ou non) pour « prédire » un nombre premier. Jusqu’à aujourd’hui, la plupart des mathématiciens s’accordaient à dire qu’il y a une part d’aléatoire dans leur apparition.

Pourquoi la situation a-t-elle changé ? Tout simplement suite à la découverte de Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver, chercheurs à l’Université Stanford de Californie. Ceux-ci ont récemment décidé de tester l’hypothèse de ce caractère aléatoire et ils ont découvert que la distribution des nombres premiers consécutifs pouvait être biaisée.

Pour ce faire, ils se sont intéressés aux cent premiers millions de nombres premiers. Dans cet ensemble, un nombre premier qui se termine par un 1 est suivi par un autre se terminant par un 1 dans seulement 18,5% des cas. Ceci ne devrait pas arriver si nous étions en présence d’un véritable caractère aléatoire. Le résultat devrait être de 25% – car les nombres premiers se terminent nécessairement par 1, 3, 7 ou 9 -. Pour le 3, le pourcentage est de 30%, comme pour le 7. Pour le 9, il est de 22%. Et cela n’a rien à voir avec la notation en base 10, c’est bien inhérent aux nombres premiers.

Étrange, non ? Inattendu, c’est certain ! Selon Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver, cela aurait quelque chose à voir avec la conjecture de nombres premiers k-uple. Les nombres premiers jumeaux sont ainsi une paire de nombres premiers séparés de seulement 2 (de la forme p et p+2, comme 3 et 5 ou 11 et 13)… Les cousins diffèrent de 6, etc. Cette conjecture vise à mieux comprendre la proximité des nombres premiers les uns par rapport aux autres, « ou plus précisément, au fur et à mesure que nous avons des nombres de plus en plus grands, à quelle fréquence pouvons-nous trouver un nombre premier qui en ait d’autres à proximité de lui« , explique Spencer Greenberg, mathématicien et fondateur de ClearerThinking.org.

Et cette nouvelle étude offre un nouveau regard sur ces contraintes. « À mesure que les nombres grandissent, il semblerait que le système soit moins contraignant, se rapprochant toujours davantage d’une distribution égale pour le dernier chiffre – ce qui semble censé puisque les nombres premiers deviennent de plus en plus rares -.« 

Mais il est important de se rappeler que les nombres premiers paraissent uniquement être aléatoires, ils ne le sont pas du tout : « Il sont déterminés précisément par les propriétés des chiffres – c’est juste que lorsque l’on regarde leur occurrence, notre cerveau ne voit pas le schéma, c’est pour cela qu’il a une impression de parfait aléatoire.« 

Même si cette découverte n’aidera probablement en rien à résoudre certaines hypothèses et théories émises sur les nombres premiers, « cela nous permet de mieux comprendre, et tout peut y aider. Si votre hypothèse de base est fausse, cela vous fait repenser totalement certaines choses que vous pensiez savoir« , concluait le mathématicien Andrew Granville.

Tags :Via :Gizmodo
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  1. Une génération aléatoire n’a pas forcement une distribution uniforme. Je ne suis pas sûr de bien comprendre l’intérêt de cette étude !

    1. Morgan non plus a priori…

      Cette étude n’a d’intérêt QUE si l’on connait le nombre exact de nombres premiers. de part le postulat du caractère aléatoire des nombres premiers. En prenant un échantillon statistique (qui ne peut être représentatif QUE s’il est une proportion CONNUE de la quantité, vas trouver la qtt représentative pour une quantité infinie, bref.)

      Bref : Absolument rien ne certifie que si l’on se cantonne au 100 premiers million de nombre premiers cela suffise pour les calcul. Si ça se trouve il suffit de prendre des 101 premiers million pour avoir la répartition attendue) et si on prends les 102 premiers million les % peuvent très bien se repartir totalement différemment.
      C’est exactement comme dans le chiffre PI tu peux tout à fait à un endroit y trouver ton code génétique suivi de l’intégralité de la bibliothèque nationale qui sera elle meme suivi de tous les 43 542 premiers nombres premiers, et ce 45 fois de suite

      La ou ce début d’idée de productivité commence vaguement à poser un problème, c’est en cryptographie (qui est basée sur des calculs entre nombre premiers en gros)
      la capacité actuelle des ordis imposent de se limiter à une « taille » dans les clés (en très gros encore, les nombres premiers utilisés)
      Et la tu sens bien que tenter de déchiffrer le tout avec des nombres vaguement déductibles n’est pas du tout la meme chose qu’avec des nombres «  » »totalement » » » aléatoires.

      /alerte godwin
      le meilleur exemple de ce problème de « supposition » est le dechiffrement de la machine ENIGMA allemande pdt la guerre. La machine est suffisamment bien conçue pour qu’elle reste incassable en un temps « raisonnable » (de mémoire, à 10 000 tests par secondes, compte quand meme plusieurs dizaines de milliards d’années pour avoir une chance de trouver la bonne combinaison)
      sauf que… les allemands diffusaient un certains type de message (la météo du jour) et avec la rigueur qu’on leur connait le message contenait toujours le meme premier mot, et les memes deux derniers.
      ajoute à ça, un « défaut » de conception que chaque lettre ne pouvait jamais être remplacée par elle meme…

      il a fallut en 42 a Allan Turring, 25 minutes pour casser le code, et gagner la guerre

      -> voila le réel soucis de cette eventuelle productivité.

        1. La définition donnée par Morgan est imprécise. Un nombre premier a exactement 2 diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Comme 1 n’a qu’un seul diviseur : 1, il n’est pas premier.

  2. pour l’instant, quel est l’utilité des P si ce n’est la cryptographie, rien ne dit qu’un jour ils ne serviront pas à autre chose, c’est pourquoi certaines routines de comparaison qui semblent de nos jours farfelues donneront à cette échelle approximativement aléatoire de nouvelles lettres de noblesses; chercher l’antépénultième P est illusoire sauf dans l’hypothèse de l’asséchement de l’intérêt utilitaire de ces nombres, la formulation mathèmatique du dernier nombre premier sera celle publiée dans la seconde précédant le gnab gib de l’espèce humaine!

  3. Salut ! J’ai une procédure qui me permet de trouver, dans moins d’une minute, le nombre premier qui vient immédiatement après une borne, par 10, 5557, 22332266655, 5556663332280009665555446, bref tout nombre, peu importe son nombre de chiffres. SVP aidez-moi à la publier auprès d’une institution sûre. Je pèse mes mots et je suis tout à fait sérieux.

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